Racine de p irrationnelle - Corrigé

Énoncé

Montrer que, si \(p\) est un nombre premier, alors \(\sqrt{p}\) est un nombre irrationnel.

Solution

Soit \(p \in \mathcal{P}\) .

Raisonnons par l'absurde, et supposons que \(\sqrt{p}\) est rationnel, c'est-à-dire qu'il existe \(a \in \mathbb{Z}\) et \(b \in \mathbb{N}^\ast\) premiers entre eux tels que \(\sqrt{p}=\dfrac{a}{b}\) .

On a alors :  \(\begin{align*}p=\frac{a^2}{b^2} \ \ \Longleftrightarrow \ \ a^2=pb^2\end{align*}\)  donc \(p\) divise \(a^2\) .

Or \(p\) est premier, donc \(p\) divise \(a\) .

Ainsi, il existe \(k \in \mathbb{Z}\) tel que \(a=pk\) ,
donc \(\begin{align*}a^2=pb^2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ p^2k^2=pb^2 \ \ \Longleftrightarrow \ \ pk^2=b^2\end{align*}\)  et donc \(p\) divise \(b^2\) .

Or \(p\) est premier, donc \(p\) divise \(b\) .

Ainsi, \(p\) est un diviseur commun de \(a\) et \(b\) qui sont premiers entre eux,
donc \(p=1\) : contradiction, car \(p \in \mathcal{P}\) . Par conséquent, \(\sqrt{p}\) est irrationnel.